삼각형의 내각의 합은 180도 이다
BC555년경 즉 BC6세기 그리스 수학자 피타고라스를 거쳐 BC 약 300년경 유클리드는
그의 기하학원론에서 삼각형의 세내각의 합의 크기는 180도이다 라는 명제를 증명한다
그전에 그는 먼저 삼각형이란 무엇인가라고 묻는데 삼각형은 서로다른 세 점을 직선으로 연결한 도형이다 라고 정의한다 그럼 점은 무엇이고 직선은 무엇인가? 그는 계속해서 점은 크기는 없지만 위치만 있는 것을 말하고 직선은 길이만 있고 두께는 없는 것을 말한다 라고 정의한다 음 그럴 듯 하군 고개가 끄덕여 진다!
어 그런데 여기서 그럼 크기는 무엇이고 위치는 또 무엇인가? 한걸음 더 나아가 의문을 가질수 있지만 여기서 유클리드는 더 이상 정의하지는 않는다 그렇게 2천년이상 흘러왔다
현대수학에서도 이부분에서는 더 이상 논쟁하지 않는다 하긴 따져봐야 또 다른 무정의 용어만 등장할 뿐이다 아마 유클리드도 이 점을 알고 더 이상 정의하지 않았는지 모른다
따지는 것을 좋하하는 서양의 연역적 사고를 엿볼수 있다 삼각형이란 그냥 세변으로 선을 그어서 만든 적당한 모양이다 라고 인정하기에는 뭔가 인정할 수 없는 마음의 저항을 가진 것이다 그래서 유클리드는 공리라고 부르는 5개의 진리같은 것을 만들고 받아들였다
한 점에서 다른 점으로 선을 그을 수 있다 그 선은 양쪽끝으로 무한히 연장할 수 있다
모든 직각은 서로 같다 두 직선이 평행하면 양쪽 모두 두직선은 만나지 않는다 등 등 5가지 공리을 만들고 그의 기하학을 여기서부터 증명하면서 발전시켜 나간 것이 우리가 중학교에서 배우는 도형의 명제들이다 실로 대단한 성과임에 틀림없다 1889년 이탈리아 수학자 피노(페아노) 역시 자연수에 대해 뭔가 체계적으로 정의하고 싶었다 그래서 그도 공리 5개를 만들었는데 첫 번째가 0은 자연수이다 두 번째는 만일 x가 자연수이면 x의 후자(다음수)라고 부르는 x^가 존재한다 세 번째 후자가 서로 다른 두 수는 전자도 서로 다르다 ... 이런 식으로 5개를 만들어 자연수론을 발전시겼고 후에 이를 바탕으로 데데킨드의 실수절단 이론을 가지고 모든 실수 a,b에 대하여 a+b는 b+a과 같다고 하는 명제를 증명하게 된다 사실 중학교에서 배우는 배분법칙 (a+b)xc=ac+bc 이것을 우리는 법칙이라하여 무조건 외우고 사용만 하였는데 이는 물론 엄밀히 증명이 되는 것이다 그런데 이증명을 어떻게 하였는지 생각해 보면 참으로 위대하다는 생각을 갖게된다 그 많은 자연수(또는 실수)를 어떻게 모두 대입할 수도 없는데 모든 수에 대해서 성립한다는 결론을 내리는 것일까? 거 참 서양사고의 연역적 사상은 이런 점에서 위대하다고 할 수 있겟다 즉 단순한 몇 개의 전제를 진리로 받아들이고 이로부터 여러 가지 명제를 도출하고 증명해 나가는 방식인 것이다 그리하여 전제를 바꾸면 유클리드기학학과는 또 다른 비유클리드기하학이 탄생할 수 있게 된다유클리드기하학은 한 직선과 평행한 직선은 오직 하나뿐이지만 비유클리드기하학에서는 평행한 직선이 하나이상이 될수도 있고 아예 하나도없을 수도 있다는 공간가정이 성립하는 것이다 즉 우리 공간이 3차원공간인데 이 공간자체가 4차원으로 휘어져 있다고 가정하면 희한한 현상이 벌어진다 3차원은 생각하기 어려워 2차원으로 도식화해보면 무한히 넓은 평면이 유클릭드기하학 대상이라면 지구처럼 공같이 둥글게 3차원으로 말린 2차원 평면에서는 적도에서 수직으로 위로 선을 그으면 모두 북극점에서 만나게 된다 그래서 직각도 90도보다 적고 평행선도 모두 북극에서 만나므로 아예 있을 수가 없다 이런식으로 2차원x,y가 3차원z축으로 침범하여 휘어져 있으면 또 다른 현상이 발생하듯 우리 3차원도 4차원이라는 축 즉 시간축으로 휘어져 있다고 아인쉬타인이 주장하였다 우리는 3차원 피조물이기 때문에 시간의 4차원축을 인식할 수가 없지만 만일 4차원 생물이 있다면 시간축으로 움직일수도 있으므로 과거나 미래로 갈 수 있다는 이른바 4차원 시공간설이 등장하는 것이다 이상 수학의 짧은 지식에 의한 짧은 고찰이었는데 역시 수학자가 아닌 나로서는 글에 오류가 있을 수도 있지만 단순한 호기김에서 쓴 글이므로 주저하지 않는다 403 Forbidden403 Forbidden |
|
