[수학의 短書(짧은글)] 엡실론-델타식 논법을 아십니까?
”해석학에서 틀림없이 발견되는 이 지독한 애매성 그렇게 많은 사람들이 이것을 연구할수 있었다는 것이 이상할 정도로 이것에는 여하한 계획도 체계도 완전히 결여되어 있다 최악의 사실은 그것이 합리적이고 엄격하게 취급된 일이 전혀 없다는 사실이다 고등해석학의 정리로서 논리적으로 비난의 여지없게 증명된 것은 거의 없다 한 에를 들고나서 이것에서 일반적인 사실의 성립을 주장하는 따위의 비참한 방법을 우리는 도처에서 볼 수 있으며 이런 과정이 소위 패러독스라고 부르는 것을 거의 유발하지 않았다는 사실이 지극히 이상하다 “
이 말은 젊어서 간 수학의 천재 아벨이 1826년 크리스토퍼 한스틴 교수에게 보낸 편지에서 미적분학의 기초적개념에 대한 이론이 없었음을 개탄하는 말이다 알다시피 영국의 뉴튼과 독일의 라이프니츠에 의해 발명된 미적분학은 당시 수학과 과학에 있어 매우 강력한 무기가 되어 학자들은 이 무기를 바탕으로 눈부신 성과를 거두는데 성공하였다 하지만 이후 시간이 지날수록 미적분학의 엄밀한 기초가 없어 수학의 발전이 난관에 봉착하게 되었으며 1821년 코쉬가 미적분학의 기초를 공고히 하기위한 노력의 찻발표를 하였고 그후 많은 학자들이 미적분학과 극한의 기초개념을 다지는데 많은 공을 들였으며 이 엡실론 델타식 논법도 그 과정의 하나이다 과거사는 이정도로 하고 나는 고등학교 수학시간에 선생님이 극한을 설명하면서 x가 한없이 2로 가면 함수 f(x)=3x는 한없이 6으로 간다 (또는 제곱함수 x제곱은 한없이 4로 간다) 이 말을 듣고 이때부터 머릿속에 혼란이 일어났다 한없이 2로 가면 f(x)는 한없이 6으로 간다 이 말이 무슨 의미인가?
대충 x를 3에서 2.5 2.1 2.01 대입해 보면 f(x)=9에서 7.5 6.3 6.03 ... 이렇게 되니 음 6에 접근하기는 한다 그런데 실수는 무한히 많고 모든 실수를 댜 대입해 볼 수도 없고 한없이 6으로 가다가 어떨때는 갑자기 100에 가까워 지거나 이러지는 않을까? 그렇지 않다는 보장은 없지 않는가? 이런 의문이 머릿속에 걷히지 않는 안개처럼 꽉 차있었던 것이다.
뭐 그런데 어쩔것인가. 할수 없이 고등학교를 졸업하고 대학교에 입학하여 교양수학 강의를 듣던중 드디어 교수님의 강의에 엡실론 델타 논법이 소개되는데 즉 x가 한없이 2로 가면 f(x)는 한없이 6으로 간다는 증명의 방법으로 나온 것이다 그때 교수님이 이 증명법을 완전히이해하려면 3-4달은 걸린다고 하였는데 나 역시 그정도의 시간이 지나서 완전히 이해를 하게 되었고 그 후 이 증명법이 매우 기발하고 아름다워서 일종의 희열을 느끼게 되었다
그래서 그 후 오랜 시간이 지나도 별로 까먹지 않고 있었기에 이 기회에 기억을 되살릴겸 적어 보려고 하는 것이다 물론 수학을 전공한 학생들은 잘 알고 있을 수도 있겠지만 다시 한번 그 학창시절의 유익한 경험을 해보는 의미에서 적어보는 것이다
임의의 양수 엡실론e에 대하여 양수 델타d가 존재하여 x가 한없이 2로가면 f(x)는 한없이 6으로 간다 이를 식으로 나타내면
A e>0, E d>0 임의의(All) 양수 e에 대하여 양수 d 가 존재하여(Exist)
[x-2]<d => [f(x)-6]<e 이렇게 절대값으로 표현한다 이를 가만히 살펴보면 어떤작은 양수e이라도 이에 대응하는 양수d가 존재하여 x-2가 d 보다 작으면 f(x)-6은 그 어떤 양수 e보다도 작다는 말이므로 그 어떤 양수보다 작다는 것이 한없이 0으로 간다는 뜻이고 f(x)-6 이 한없이 0으로 간다는 말은 f(x)는 한없이 6으로 간다는 말이므로 이해가 갈 것이다(이 부분의 식을 이해하는데는 시간이 좀 걸립니다)
그러면 이제 f(x)=3x 라는 함수에서 x가 2로 가면 f(x)는 6으로 간다는 것을 증명해 보면
All e>0 , Exist d=e/3 으로 하면(즉 임의의 e에 대하여 양수d를 3분의e으로 잡으면)
[x-2] < d => [x-2]<e/3 이므로 3[x-2]<e 이다 즉 [3x-6]<e 이다 이를 말로 하면
x가 한없이 2로 가면 3x는 한없이 6으로 간다가 된다(증명끝) 즉 당신이 아무리 작은 양수 e을 잡더라도 그 e에 대하여 d= e/3을 잡으면 f(x)-6은 그 작은 양수 e 보다도 더 작으니 한없이 6으로 간다는 뜻이다 이번에는 f(x)=x^2 즉 x제곱으로 두면 All e>0 대하여 Exist d=e/[x+2] 로 두면(단x는 –2가 아닐 때) [x-2] < d=e/[x+2] 이므로 [x-2][x+2]<e 이고 [x^2-4]<e 이므로 x가 한없이 2로가면 f(x)-4는 임의의 양수 e보다 작으므로 한없이 4로 간다 만일 x= -2이면 x^2-4=0이므로 0은 임의의 양수 e보다 당연히 작으므로 식이 성립하여 4로 간다(증명끝)
이로써 간단하나마 독일수학자가 개발한 엡실론 델타식 논법을 설명하였는데 사실 어떻게 보면 한없이 0으로 간다는 말을 수학적으로 표현한 것에 불과하다는 생각을 할 수도 있다 그러나 한없이 0으로 간다는 말의 애매성을 제거하고 수식으로 표현했다는 데에 의의가 있겠다
비슷한 예를 들면 서로 마주보는 대정각(맞꼭지각)은 서로 같다는 명제를 증명하는데도 사용해 보면 직선 AB와 직선 CD가 한점 E에서 만나면 서로 마주보는 각 AEC과 BED는 서로 같다 직선 AB를 위아래로 움직이면(즉 가위를 벌렸다 좁혔다하면) 마주보는 각은 당연히 서로 같지 않은가 이는 직관적인 증명이 될 수는 있지만 수학적 증명으로는 부족하다 이를 증명하려면 직선 AEB는 180도 이고 직선 CED도 180도 각이므로 각 AED는 두 직선의 공통각이고
나머지 마주보는 두각을 서로 더해보면 각각 180도를 이루므로 이 두각은 서로 같아야 한다(증명끝)
이렇게 수학적으로 증명해 보면 눈으로 보는 것보다는 확실히 엄밀하고 정확하다
이 외에도 a+b 와 b+a 는 서로 같다 즉 a+b=b+a이다 이 식도 증명이 되는데 우리는 중학교때 교환법칙이라고 무조건 외웠던 기억이 있다 이처럼 수학은 어디까지가 증명이 되는가라는 문제가 고찰의 대상이 된다 가우스가 했던 말중 수학은 과학의 여왕이라는 말이 있다 그만큼 수학이 아름답고 우아하면서도 강력하다는 말일 것이다 비록 현대사회에서 순수학문을 해 봐야 돈이 안되지만 나는 수학이야 말로 모든 학문중 제1의 학문이라고 생각하면서 이만 글을 마치겠다 수학을 전공하지 않은 나로써는 내용이 혹시 부정확할 수도 있음을 밝히고 글의 맨 첫부분 아벨의 편지내용은 수학자 한병호 저서 수학이란 무엇인가?에 나온 책내용을 그대로 인용하였다는 것도 밝히면서 끝맺음을 합니다.
403 Forbidden403 Forbidden |
|
