18-1-나.음수의 표현

다음은 부호가 있는 정수 타입에 대해 알아보자. 비트의 세계에서 음수를 표현할 수 있는 방법은 여러 가지가 있을 수 있다. 0과 1로 된 일련의 비트를 어떤 수로 해석할 것인가는 일종의 약속이기 때문에 처음 정한 약속대로 부호를 표현하기만 하면 된다. 다음은 3비트의 정수 타입으로 음수를 표현하는 다양한 약속의 예이다.

 

이진수

부호 없음

일정 수 감소

부호 비트와 절대값

1의 보수

2의 보수

000

0

-4

0

0

0

001

1

-3

1

1

1

010

2

-2

2

2

2

011

3

-1

3

3

3

100

4

0

-0

-3

-4

101

5

1

-1

-2

-3

110

6

2

-2

-1

-2

111

7

3

-3

-0

-1

 

부호가 없는 경우는 모든 비트를 수로만 인식하며 오른쪽부터 2의 거듭승에 해당하는 가중치를 곱하고 모든 자리수를 더해 양수만 표현한다. 비트를 해석하는 방식을 변경하면 음수를 표현할 수도 있다.

 

■ 일정수 감소법 : 부호없는 값에서 일정한 수를 빼 음수를 표현한다. 일종의 평행 이동법이라고 할 수 있다. 이때 빼 주는 값을 바이어스(bias)라고 하는데 전체 범위의 절반값 정도를 빼면 음양의 범위가 비슷해질 것이다. 위 도표에서는 4를 바이어스로 사용했다. 이렇게 되면 원래 0이 -4가 되고 4가 0이 되며 7은 3이 되어 -4~3까지 표현할 수 있는 타입이 된다. 논리적이고 충분히 가능한 방법이기는 하지만 직관적이지 못한 것이 단점이다.

■ 부호 비트와 절대값 : 최상위 1비트를 부호 비트로 사용하고 나머지 2비트로 절대값을 표현하는 방법이다. 부호는 음, 양 두 가지 상태 중 하나이므로 1비트로 충분히 표현할 수 있으며 0을 양수 부호로, 1을 음수 부호로 약속한다. 3비트중 한 비트가 부호 비트로 사용되었으므로 최대 표현 절대값은 절반으로 줄어들지만 음수를 표현할 수 있어 표현 가지 수는 비슷해진다. 이 방법의 단점은 부호에 따라 0이 두 개나 존재하여 모호함이 발생한다는 것이다. 이 타입에서 100은 000과 같은 값으로 비교될 것이다.

■ 1의 보수법 : 양수 비트를 모두 반전하여 음수를 만드는 방법이다. 예를 들어 양수 2는 010이므로 이 비트를 모두 반전하여 101로 -2를 표현한다. 음수로 만드는 연산이 간단하다는 장점이 있지만 이 경우도 앞의 방법과 마찬가지로 +0, -0이 따로 존재하는 단점이 있다.

■ 2의 보수법 : 1의 보수에 1을 더해 음수를 표현한다. 즉 모든 비트를 반전시킨 후 1을 더하는 방식인데 2(010)를 모두 반전시키면 101이 되고 여기에 1을 더한 110을 -2로 표현한다. 이렇게 되면 1의 보수법과는 달리 -0은 1000이 되며 오버플로우되어 사라지므로 한가지의 0만 존재하게 된다.

 

이 외에도 비트로 음수를 표현하는 다른 방법들을 많이 생각할 수 있는데 현대의 컴퓨터들은 모두 2의 보수법으로 음수를 표현한다. 2의 보수를 만드는 방법이 다소 복잡해 보일지 모르겠지만 반전과 증가는 기계적으로 무척 간단한 동작이기 때문에 음수를 만드는 속도가 빠르며 2의 보수를 사용하면 덧셈으로 뺄셈을 대신할 수 있기 때문이다.

8비트의 부호없는 char형 변수 c가 100의 값을 가지고 있을 때 여기에 256(0x100)을 더하면 어떻게 될 것인가 생각해 보자. 결과는 356이지만 오버플로우되어 원래값 100을 그대로 가지게 된다. 100부터 1씩 계속 증가해서 256번 반복하면 결국 제자리로 돌아오는 것이다. 그래서 8비트에서 256은 0과 같다.

그렇다면 이번에는 100+255(0xff)를 계산해 보자. 결과는 355가 되고 이 값도 8비트 범위를 넘어서므로 256(0x100)이 잘려 나가 99만 남게 된다. 결국 255는 -1과 같아지는데 255가 바로 -1을 2의 보수로 표현한 값이다. 같은 원리로 254는 -2이고 253은 -3이다. 컴퓨터는 -n 연산을 할 때 n을 2의 보수로 만든 후 이 값을 더하는 방식으로 뺄셈을 수행한다. 그래서 컴퓨터는 덧셈을 하는 가산기만 가지고 있으며 뺄셈을 하는 감산기는 별도로 가지지 않는다.

보수(Complement)란 어떤 수(기수라고 한다)가 되기 위해 보충되어야 하는 수를 의미하는데 가령 기수 10에 대한 3의 보수는 7이다. 일반적으로 a+b=기수일 때 a와 b는 기수에 대해 보수 관계에 있다고 표현한다. 2의 보수란 n비트에 대해 2n을 기수로 한 보수이다. n이 8일 때 기수는 28=256이 되며 결국 8비트에서 2의 보수는 256이 되기 위해 더 필요한 수로 정의할 수 있다. a의 2의 보수 b가 있을 때 a+b=256이며 8비트에서 256은 0과 같다. 그러므로 a+b=0이 되고 a=-b, b=-a의 관계가 성립한다.

1의 보수란 2n-1을 기수로 한 보수이며 n이 8일 때 255(11111111)가 기수이다. 1의 보수끼리는 정확하게 비트 반전 관계가 성립하며 이 값은 기계적으로 아주 쉽게 구할 수 있다. 1의 보수에 대한 기수보다 2의 보수에 대한 기수가 1 더 크므로 반전 후 1을 더하면 2의 보수가 된다.